Thể tích khối trụ là một trong những nội dung hình học không gian thú vị, ứng dụng được trong cuộc sống hàng ngày. Vậy công thức tích thể tích của khối trụ như thế nào? Mời các bạn theo dõi bài viết dưới đây của Hoàng Hà Mobile để biết thêm những thông tin chi tiết nhé!
Khối trụ là gì?
Khối trụ hay được gọi là hình trụ là một hình học không gian được giới hạn bởi đường tròn có đường kính bằng nhau và mặt trụ. Theo định nghĩa trong sách Toán hình học lớp 9, hình trụ được định nghĩa như sau:
“Hình trụ là hình giới bạn bởi mặt trụ và hai đường tròn bằng nhau, là giao tuyến của mặt trụ và 2 mặt phẳng vuông góc với trục.”
“Hình trụ là hình tròn xoay khi sinh bởi bốn cạnh của hình một hình chữ nhật khi quay xung quanh một đường trung bình của hình chữ nhật đó.”
Dựa vào định nghĩa trên, để nhận biết hình trụ và tính thể tích khối trụ rất đơn giản dựa vào những tích chất sau:
- Hình có hai cạnh đáy là hình tròn với đường kính bằng nhau là hình trụ.
- Hình trụ có độ dài hai song song và bằng nhau.
- Trục toạ độ của hình trụ chính là đường thẳng nối từ hai tâm của mặt đáy chính.
- Đường sinh của hình trụ chính là đường thẳng có cùng độ dài và song song với trục toạ độ.
Một số công thức tính hình trụ cơ bản
Hình trụ sở hữu nhiều tính năng vượt trội như khả năng chịu lực, lưu trữ không gian tốt hơn so với những hình khác. Vì vậy, trong cuộc sống chúng ta bắt gặp rất nhiều vật dụng có hình trụ như lon nước, cột trụ, ống khói, đường ống,… Với hình học không gian này, mọi người có thể tính diện tích xung quanh, diện tích toàn phần và thể tích khối lăng trụ, thể tích hình trụ. Sau đây chúng tôi sẽ tổng hợp những công thức về hình trụ cho các bạn nắm được:
Tính diện tích xung quanh
Công thức đầu tiên liên quan đến hình trụ là cách tính diện tích xung quanh tức là phần diện tích mặt bao quanh, không bao gồm mặt đáy. Công thức tính diện tích xung quanh hình trụ là lấy chu vi mặt đáy nhân với chiều cao:
Sxq = 2.Π.R.H
Trong đó:
- Sxq: Viết tắt của cụm từ diện tích xung quanh hình trụ.
- 2πr: Chu vi đường tròn mặt đáy hình trụ (π = 3,14).
- h: Chiều cao của hình trụ cần tính.
Tính diện tích toàn phần
Trước khi tìm hiểu cách tính thể tích khối trụ, chúng ta tìm hiểu cách tính diện tích toàn phần. Diện tích toàn phần chính là diện tích xung quanh và diện tích mặt đáy. Cách tính diện tích toàn phần hình trụ sẽ lấy diện tích xung quanh cộng với diện tích hai đáy.
STP = 2.Π.R² + 2πrh
Trong đó:
- STP: Viết tắt của cụm từ diện tích toàn phần hình trụ.
- 2.Π.R²: Diện tích của đường tròn đáy (π = 3,14).
- 2πrh: Diện tích xung quanh hình đáy của hình trụ.
Thể tích của khối trụ
Tính thể tích của hình trụ để biết lượng không gian lưu trữ được bao nhiêu. Cách tính thể tích hình trụ rất đơn giản, các bạn chỉ cần lấy diện tích đáy nhân với chiều cao.
V = Π.R².H
Trong đó:
- V: Thể tích của hình trụ cần tính.
- πr²: Diện tích đáy hình trụ.
- h: Chiều cao của hình trụ.
Dựa vào công thức trên, có thể thấy thể tích của khối trụ phụ thuộc vào chiều cao, bán hình đáy, số pi. Các bạn cần áp dụng đúng công thức để tính được thể tính chính xác nhất.
Một số dạng bài tập về thể tích khối trụ
Theo công thức tính thể tích của khối trụ có ba đại lượng gồm chiều cao, bán kính đáy và thể tích. Với phần thể tích của khối trụ có phần khó hiểu hơn, do đó chúng tôi sẽ lấy bài tập minh hoạ cụ thể cho các bạn tham khảo:
Bài 1
Cho hình chữ nhật ABCD trong đó có cạnh AB = a, góc BDC = 30 độ. Hãy quay hình chữ nhật này xung quanh cạnh AD để tạo thành hình trụ. Yêu cầu tính diện tích xung quanh của hình trụ đó?
Đối với các dạng bài tập hình học không gian, các bạn cần vẽ hình dựa trên dữ liệu của đề bài. Đầu tiên, các bạn hãy vẽ hình chữ nhật sau đó quay hình chữ nhật xung quanh cạnh AD để tạo được hình trụ như trên.
Theo đó ta có bán hình đường tròn đáy được tính bằng AB = a
Đường cao của hình trụ bằng BC = CD.tan30 độ = a.1/√3 = a/√3
Từ đây, chúng ta sẽ suy ra diện tích xung quanh của hình trụ sẽ bằng Sxq = 2rh = 2.3,14.a = a/√3= (2.3,14.a.2)/√3
Bài 2
Cho hình tứ diện đều ABCD có cạnh a, xét hình trụ có một đáy với đường tròn nội tiếp tam giác ABC, chiều cao bằng chiều cao hình tứ diện. Hãy tính diện tích xung quanh của khối trụ đó?
Như vậy, bài này yêu cầu tính diện tích xung quanh thay vì thể tích khối lăng trụ, thể tích hình trụ. Trước tiên cần gọi O là tâm của tam giác ABC và trung điểm của cạnh BC là M. The đó, O sẽ là trọng tâm của đường tròn nội tiếp hoặc ngoại tiếp của tam giác ABC bởi đây là tam giác đều.
Ta có cạnh AM = AM.sinC = a.sin60 độ = a√3/2
AO = 2/3AM
= 2/3 x a√3/2 = a√3/3
Tiếp theo, chúng ta sẽ tính chiều cao tứ diện:
h = DO = √(DA2 – OA2)
= √(a2 – (a√3/3)2 = a√6/3
Bán kính của đường tròn nội tiếp tam giác ABC được tính như sau:
r = OM = AM/3 = a√3/6
Sau khi tính được chiều cao, bán kính đường tròn, chúng ta sẽ tính diện tích xung quanh hình trụ:
Sxq = 2.3,14rh
= 2.3,14.a√3/6.a√6/3
= 3,14xa2√2/3
Bài 3
Cho hình trụ có hai đáy hình tròn tâm (O) và (O’), tại đường tròn lấy điểm A, B sao cho góc giữa AB và đường tròn đáy bằng 45 độ và cách OO’ bằng a√2/2 . Hãy tính thể tích khối trụ theo bán kính đáy a.
Đầu tiên, chúng ta đặt OO’ = h sau đó gọi các điểm I, E, D là trung điểm của cạnh BC, BA, OO’.
Dựa vào đây, ta có d(AB,OO’) = ED = IO’ = a√2/2
Do ABC là tam giác vuông tại C nên có góc B bằng 45 độ -> ABC là tam giác vuông cân. Theo đó, cạnh BC = AC = h.
Ta có:
CO2= CI2+IO2
a2= (h/2)2 + (a√2/2)2
h=a√2
Dựa vào những dữ liệu trên, thể tích khối trụ bằng V = πa2.a √2 = πa3√2
Giải đáp câu hỏi thường gặp
Tới đây, chắc hẳn mọi người đã biết cách tính thể tích khối trụ cũng như diện tích xung quanh, diện tích toàn phần của hình học này. Về cơ bản, cách tính thể tích hình trụ rất đơn giản, các bạn cần nắm được công thức để giải các bài tập liên quan. Sau đây, chúng tôi sẽ giải đáp những câu hỏi thường gặp về hình trụ cho các bạn tham khảo nhé!
Thể tích hình trụ được ứng dụng thực thế nào?
Trong thực tế, hình trụ được ứng dụng đa dạng chẳng hạn như trong xây dựng, sản xuất, giáo dục,… Do đó, việc nắm được cách tính diện tích xung quanh, diện tích toàn phần, thể tích hình trụ là vô cùng cần thiết. Cụ thể:
- Trong xây dựng cần tính thể tích hình trụ để xác định số lượng vật liệu bê tông, xi măng, cốt thép để lấp đầy khối không gian bên trong.
- Trong ngành công nghiệp, tính thể tích hình trụ giúp bạn biết được nó chứa được bao nhiêu chất lỏng, chất bộ, chứa ga.
- Trong sản xuất, khi thiết kế các chi tiết hình trụ cần tính thể tích để xác định dung tích cũng như khối lượng của nó.
- Trong giáo dục, hình trụ là một trong những nội dung quan trọng của hình học không gian. Các bạn học sinh lớp 9 sẽ được tiếp xúc với dạng bài tập này rồi phát triển lên các lớp tiếp theo.
Hình trụ với đáy không phải hình tròn có tính được thể tích không?
Trong một số trường hợp, hình trụ có đáy không phải là hình tròn, các bạn vẫn có thể tính được thể tích của nó. Các bạn cần tìm diện tích đáy, chiều cao của hình trụ đó sau đó tính thể tích khối lăng trụ, thể tích hình trụ như bình thường.
Diện tích đáy của hình trụ sẽ tương ứng với diện tích của hình tương ứng chẳng hạn như đáy hình trụ là hình vuông thì ta tính diện tích hình vuông bằng bình phương cạnh đáy.
Chiều cao của khối trụ bằng khoảng cách từ mặt đáy lên đỉnh của khối trụ. Cuối cùng, ta sẽ tính thể tích hình trụ bằng diện tích đáy nhân với chiều cao. Lưu ý, nếu đáy của hình trụ không phải là hình tròn sẽ lấy diện tích đáy tương ứng.
Tính thể tích khối trụ bằng phương pháp khác được không?
Ngoài công thức tính thể tích của hình trụ phía trên, các bạn có thể tính thể tích hình trụ bằng cách sử dụng đường cong, công thức tiếp tuyến, phương pháp cắt ghép,… Tuy nhiên các phương pháp tính hình trụ khác sẽ phức tạp hơn. Một số phương pháp khác để tính thể tính hình trụ như:
Nếu hình trụ bạn đang tìm thể tích có hình dạng đặc biệt như hình xoắn ốc, các bạn có thể sử dụng tích phân để tìm thể tích. Theo đó, tích phân của đường xoắn ốc chính là thể tích của hình trụ cần tìm.
Nếu các bạn biết biểu thức đường cong của hình trụ thì có thể lựa chọn công thức tiếp tuyến để tính thể tích.
Đối với hình trụ có cạnh không đều thì bạn có thể cắt, ghép chia nhỏ thành các hình dạng đơn giản như hình tròn, tam giác, chữ nhật,… Tiếp theo tính thể tích của từng hình rồi cộng lại để tìm được thể tích khối trụ ban đầu.
Lưu ý, tuỳ vào đặc điểm, hình dạng của hình trụ để sử dụng phương pháp tính thể tích phù hợp. Thông thường, các bài tập ở trên lớp, thầy cô sẽ cho hình trụ có cách tính thể tích lấy chiều cao nhân với bình phương độ dài bán kính mặt đáy và số pi.
Đặt trọng tâm ở một vị trí khác có thay đổi thể tích hình trụ không?
Khi đặt trọng tâm của hình trụ ở một vị trí khác thì thể tích của chúng vẫn không thay đổi. Bởi thể tích khối trụ chỉ phụ thuộc vào bán kính mặt đáy, chiều cao nên thay đổi vị trí trọng tâm không ảnh hưởng. Tuy nhiên, sự thay đổi này sẽ ảnh hưởng tới tư thế và tính ổn định của hình trụ. Các bạn hãy nhớ điều này để không làm sai bài tập liên quan đến tính thể tích nhé!
Tạm Kết
Như vậy, chúng tôi đã hướng dẫn cách tính thể tích khối trụ cho các bạn tham khảo. Đây là một nội dung quan trọng trong phần hình học không gian mà mọi người cần nắm được. Ngoài cách tính thể tích, chúng tôi còn hướng dẫn tính diện tích xung quanh, diện tích toàn phần của hình trụ. Mong rằng những thông tin trên giúp các bạn giải quyết các bài tập hình học một cách nhanh chóng. Chúc các bạn học tập tốt và đạt điểm cao trong học phần hình học không gian nhé!
Hãy bấm theo dõi fanpage Hoàng Hà Mobile và kênh Youtube Hoàng Hà Channel để không bỏ lỡ những thông tin thú vị từ chúng tôi nhé!
XEM THÊM:
