Không ít người khi tiếp xúc với công thức chỉnh hợp, hoán vị và tổ hợp sẽ bị nhầm lẫn khái niệm, cũng như phân biệt công thức chính xác. Chính vì thế, Hoàng Hà Mobile đã tổng hợp bài viết này để giải thích rõ hơn về bộ 3 công thức toán học trên. Bên cạnh đó, chúng tôi cũng có ví dụ minh họa ở từng công thức để giúp bạn hiểu rõ hơn.
Hoán vị là gì?
Hoán vị là một khái niệm quan trọng trong toán học và lý thuyết đồ thị. Nó được dùng để mô tả cách mà các phần tử của một tập hợp có thể được sắp xếp lại hoặc đổi chỗ với nhau để tạo ra một sự thay đổi trong cấu trúc ban đầu. Đây là một khía cạnh của lý thuyết tổ hợp, nơi nghiên cứu về sự sắp xếp, kết hợp và chọn lựa của các phần tử trong một tập hợp hữu hạn.
Một hoán vị của một tập hợp gồm các phần tử được xếp theo một thứ tự cụ thể. Sự khác biệt giữa hoán vị và các khái niệm khác như tổ hợp và chín phần tử còn lại của tập hợp, là mỗi phần tử chỉ xuất hiện một lần duy nhất trong mỗi hoán vị. Điều này tạo ra một số lượng hoán vị khác nhau tùy thuộc vào số lượng phần tử trong tập hợp.
Chẳng hạn như ta có một tập hợp A gồm có N phần tử với N lớn hơn hoặc bằng 0. Mỗi cách sắp xếp của N phần tử theo một vị trí cụ thể nào đó sẽ được gọi là hoán vị của N phần tử. Tương ứng số thứ tự hoán vị của N sẽ được ký hiệu là Pn.
Tổ hợp là gì?
Trong bộ 3 công thức chỉnh hợp, tổ hợp và hoán vị, thì tổ hợp và hoán vị có khái niệm khá tương đồng nhau. Chính vì vậy đã làm cho không ít người hiểu nhầm lẫn, cũng như vận dụng sai cách trong việc tính toán. Hiểu được điều này nên Hoàng Hà Mobile đã thống kê được khái niệm chính xác của tổ hợp.
Trong đó, tổ hợp là cách các phần tử có thể được sắp xếp, kết hợp và chọn lựa từ một tập hợp hữu hạn để tạo ra các cấu trúc mới. Hay nói theo cách khác, đây là cách chúng ta lựa chọn ra các phần tử từ một tập hợp X lớn mà không phân biệt vị trí của chúng nằm ở đâu. Đặc biệt với một số trường hợp ngoại lệ, bạn còn có thể đếm được số tổ hợp.
Hơn nữa, trong tổ hợp các khái niệm như tổ hợp chập k và tổ hợp nhị thức đều đóng vai trò quan trọng. Tổ hợp chập k mô tả cách lựa chọn k phần tử từ một tập hợp. Trong khi tổ hợp nhị thức thường được sử dụng để đếm số cách khác nhau mà một sự kiện có thể xảy ra.
Vận dụng vào toán học, chúng ta sẽ dễ hình dung hơn khi nói với mỗi tập hợp con bao hàm k phần tử với a > 0 sẽ được xem là một tổ hợp chập k của a.
Chỉnh hợp là gì?
Tiếp theo đây, chúng ta sẽ cùng nhau tìm hiểu chi tiết hơn về khái niệm công thức chỉnh hợp trong toán học. Chỉnh hợp mô tả cách các phần tử trong một tập hợp có thể được chọn và sắp xếp theo một thứ tự cụ thể để tạo ra các cấu trúc khác nhau. Khác với hoán vị, chỉnh hợp không yêu cầu rằng tất cả các phần tử đều phải được sử dụng, mà chỉ là một phần của chúng. Chỉnh hợp thường được thường được ký hiệu là A(n,k), với n là số phần tử trong tổ hợp và k là số phần tử được chọn.
Công thức toán học chỉnh hợp có nhiều ứng dụng trong thực tế. Ví dụ, trong mật mã học, nó có thể được sử dụng để xác định số lượng khóa mã hóa khác nhau. Trong quản lý dự án, chỉnh hợp có thể áp dụng để xác định số cách khác nhau để lập lịch công việc hoặc xếp hàng tác vụ. Ngoài ra, trong lĩnh vực xác suất, chỉnh hợp thường xuất hiện khi xem xét các sự kiện có thứ tự cụ thể.
Công thức chỉnh hợp, hoán vị và tổ hợp có mối quan hệ như thế nào?
Với phần khái niệm mà Hoàng Hà Mobile vừa chia sẻ, chúng ta thấy được mối liên kết sâu sắc giữa tổ hợp, hoán vị và chỉnh hợp. Theo đó, một chỉnh hợp chập k của n sẽ được tạo thành dựa trên 2 thao tác xác định cơ bản.
(1) Đầu tiên, bạn cần lấy một tổ hợp chập k của n phần tử.
(2) Sau đó, bạn sẽ thực hiện hoán vị k phần tử là đã tạo thành một chỉnh hợp chập k của n.
Có thể nói, những công thức chỉnh hợp, hoán vị và tổ hợp sẽ xuất hiện thường xuyên trong những bài toán THPT. Đặc biệt nó còn nằm trong đề thi tốt nghiệp THPT những năm vừa qua. Chính vì lẽ đó, bạn cần hiểu rõ hơn về bản chất, cũng như công thức để áp dụng theo đúng từng trường hợp khác nhau.
Hướng dẫn quy tắc đếm hoán vị, tổ hợp và chỉnh hợp đơn giản nhất
Tiếp tục nội dung, Hoàng Hà Mobile sẽ chia sẻ thêm đến bạn một bộ quy tắc đếm cực kỳ quan trọng để sử dụng cho công thức hoán vị, tổ hợp và chỉnh hợp. Trong đó, mỗi khái niệm sẽ có một quy tắc đếm khác nhau. Do vậy, bạn đừng bỏ qua phần nội dung quan trọng này bạn nhé.
Quy tắc đếm hoán vị
Như chúng ta được biết, hoán vị mô tả về một tập hợp k phần tử. Vì thế, từ tập hợp k phần tử này chúng ta có thể thiết lập được hoán vị của a phần tử với hai thao tác siêu đơn giản.
(1) Đầu tiên, bạn sẽ chọn phần tử đầu tiên và thực hiện cộng tổng n cách.
(2) Sau đó, bạn sẽ chọn phần tử tiếp theo và thực hiện công thức (n-1) theo cách sắp xếp hoán vị.
(3) Cứ tiếp tục như vậy, chúng ta sẽ thực hiện đến các phần tử tiếp theo và áp dụng công thức chung là (a-1).
Lưu ý: Có một số trường hợp đặc biệt khi n = a, chúng ta sẽ áp dụng công thức khác để tính số các hoán vị không giống nhau là P(n) = n!. Còn nếu trong trường hợp a < n thì số hoán vị sẽ được tính theo công thức là P(n,a) = n!(n-a)!.
Quy tắc đếm tổ hợp
Trước khi bạn muốn biết cách tính công thức chỉnh hợp, hoán vị và tổ hợp thì bạn phải hiểu được quy tắc đếm của nó. Và tiếp tục nội dung bài viết, chúng ta sẽ cùng tìm hiểu về quy tắc đếm tổ hợp. Có thể nói, tổ hợp có phương thức đếm đơn giản nhất và ai cũng có thể thực hiện khi đọc qua chia sẻ của chúng tôi.
Chúng ta sẽ có một tổ hợp X bao gồm n phần tử với n lớn hơn 0. Tiếp đến, chúng ta sẽ có một tổ hợp chập k với các phần tử bất kỳ thuộc tổ hợp X. Trong đó, tổ hợp con đáp ứng được các điều kiện về X; 0 ≤ k ≤ n ; k ∈ n. Từ đây, chúng ta sẽ có được công thức của quy tắc đếm tổ hợp bằng n!(n-k)!.
Quy tắc đếm chỉnh hợp
Có thể nói, công thức đếm hoán vị là công thức chung cho cả tổ hợp và chỉnh hợp. Chính vì vậy, nếu bạn đã hiểu rõ được hoán vị thì cách tính của tổ hợp và chỉnh hợp cũng rất đơn giản. Cụ thể như trong phần này là thủ thuật đếm của chỉnh hợp.
Quy tắc đếm cho chỉnh hợp được mô tả bằng một tập hợp lớn X với n≥ 1, n là số phần tử trong tập hợp, k là số lượng phần tử được chọn và sắp xếp. Đi kèm với đó là một dãy điều kiện về 1 ≤ k ≤ n ; k ∈ n. Từ đây, chúng ta sẽ có được công thức đếm của chỉnh hợp bằng n!k!(n-k)!.
Công thức chỉnh hợp, tổ hợp, hoán vị và ví dụ minh họa
Sau khi chúng ta đã tìm hiểu được các phần “rìa” của lý thuyết, ngay sau đây là phần nội dung quan trọng nhất bài viết này. Bạn đọc hãy cùng Hoàng Hà Mobile học thuộc công thức tính chỉnh hợp, tổ hợp và hoán vị nhé. Tất nhiên “học sẽ đi đôi với hành” và chúng tôi cũng chia sẻ cho bạn một vài ví dụ minh họa cụ thể.
Công thức hoán vị
Công thức tính hoán vị của n phần tử phải nói là cực kỳ giản đơn. Chúng ta đã biết được ký hiệu của hoán vị là P(n). Vậy chúng ta sẽ có được công thức tính hoán vị là P(n) = n!. Trong đó, n! biểu thị giai thừa của nk, tức là tích của tất cả các số nguyên từ 1 đến n.
Ví dụ: Bài toán của chúng là có một tập hợp gồm 4 phần tử X = {A, B, C, D} = {4, 3, 2, 1}. Vậy từ tập hợp X chúng ta có thể lập ra bao nhiêu số gồm có 4 chữ số phân biệt?
Đáp án: Bạn đọc hãy áp dụng công thức P(n) = n! = P(4) = 4! = 4×3×2×1= 24. Suy ra chúng ta sẽ có 24 cách sắp xếp phần tử khác nhau từ tập hợp X.
Công thức tổ hợp
Đối với công thức tính tổ hợp sẽ tương đối khó hơn công thức chỉnh hợp và hoán vị. Cụ thể công thức tính tổ hợp của n phần tử chọn k phần tử, ký hiệu C(n,k) là: C(n,k) = n! / (k!(n-k)! = (n(n-1)(n-2)…(n-k+1))/k!. Trong công thức này, n! biểu thị giai thừa của n, k! là giai thừa của k và (n-k)! là giai thừa của n-k.
Ví dụ, nếu bạn có một tập hợp gồm 5 phần tử {A, B, C, D, E} = {5, 4, 3, 2, 1} và bạn muốn chọn 3 phần tử, số tổ hợp của chúng là:C(5,3) = 5! / 3!(5−3) = (5×4×3) / (3×2×1) = 10.
Công thức chỉnh hợp
Công thức tính chỉnh hợp cũng khá đơn giản, bạn chỉ cần đọc hiểu những dữ kiện trong bài toán với n phần tử chọn k phần tử và sắp xếp theo một thứ tự cụ thể. Đồng thời, bạn sẽ áp dụng công thức tính chỉnh hợp mà chúng tôi cung cấp bằng A (n,k) = n! / (n-k)! = n(n-1)(n-2)…(n-k+1).
Ví dụ: Bài toán cho một tập hợp gồm 6 phần tử {A, B, C, D, E, F} = {6, 5, 4, 3, 2, 1} và bạn muốn chọn 4 phần tử và sắp xếp chúng theo một thứ tự cụ thể, số chỉnh hợp của chúng là: A(6,4) = 6! / (6-4)! = (6×5×4×3×2×1) / (2×1) = 360. Do đó, có 360 cách chọn và sắp xếp 4 phần tử từ tập hợp này.
Kết luận
Như vậy, Hoàng Hà Mobile đã chia sẻ cho bạn tất cả thủ thuật tính toán công thức chỉnh hợp, tổ hợp và hoán vị. Các công thức này không quá khó để áp dụng, nhưng bạn cần phải hiểu rõ được bản chất, cũng như phân biệt được từng công thức khác nhau.
Xem thêm:
